Joinc Wiki: 귀납법

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귀납법

특징적인 알려진 fact(사실)로부터, 공통된 성질이나 사실을 이끌어내는 방식이다.

소크라테스, 아리스토텔레스, 플라톤, 알렉산더는 모두 죽었다.
- 알려진 사실들
그들은 사람이다.
- 알려진 사실들
그러므로 모든 사람은 죽는다.
- 일반적인 결과 도출

특징적인 사실들은 주로 경험과 실험에 의지하는 바가 큰데, 때문에 경험이나 실험이 충분하지 않을 경우 잘못된 성질을 이끌어낼 수 있다는 문제점을 가진다.

A호수의 백조, B호수의 백조, C호수의 백조는 모두 흰색이다.
그러므로 모든 백조는 희다.

위의 추론은 잘못되었다는 걸 우리는 알고 있다. 더 넓은 지역의 호수의 백조를 더 오랫동안 관찰한 결과 흰색이 아닌 백조가 있다는 사실을 알고 있기 때문이다.

귀납법의 이러한 경험적관찰에 의한 특징은 때문에 확률론으로 수렴되기도 한다. 즉 A, B, C.. 호수에서 관찰한 많은 백조는 대부분 흰색이였다. 대략 95%의 백조는 흰색이더라. 라는 식의 추론이다.

수학에서의 귀납법

수학에서 귀납법은 매우 중요한 추론방식이다. 다음은 수학에서의 귀납법의 예이다.

3+5=8, 7+1=8, 9+11=20 ...
그러므로 홀수+홀수는 짝수다.

물론 이러한 방법은 수학에서 선호하는 방법이 아닐 것이다. 모든 일반적인 경우에 대해서 적용될 수 있어야 하기 때문이다. 즉 위의 경우라면은 무한대까지 그 어떤경우라도 홀수+홀수는 짝수가 될 것이란걸 증명할 수 있어야 한다.

제일 간단한 방법은 무한대까지 모든 예를 보여주는 것이 될 것이다.

물론 무한대까지의 모든 수를 더한다는 것은 불가능한 방법이다. 이러한 문제를 풀기 위해서 기호를 이용해서 문제를 푸는 방법을 발전시켰는데, 이게 대수학이다. 대수학에서라면 대략 다음과 같이 증명할 수 있을 것이다.

n은 양의 정수다.
2n 은 짝수다.
2n+1 은 홀수다.
홀수 + 홀수는 : (2n+1)+(2n+1) 이다.
(2n+1)+(2n+1)은 4n+2 이다.
4n+2 는 2(2n+1)로 짝수다.
그러므로 홀수+홀수의 결과는 짝수다.

귀납법의 종류

Generalisation

일반화 혹은 귀납적 일반화라고 부른다. 관찰대상의 성질을 찾아서 그러한 성질을 포함하는 이미 정의된 다른 범주(카테고리)에 포함시킨다.

발이 4개달리고 멍멍짓고 꼬리를 흔들며 사람을 잘 따르는 성질을 가지는 대상을 개로 분류한다.
치와와는 발이 4개 달렸고, 멍멍짓고 꼬리를 흔든다. 그러므로 치아와는 개다.

여기에서 우리는 치와와를 개로 일반화시켰다고 한다.

일반화는 대상의 추상화와 계층화를 위한 좋은 방법을 제공한다. 개를 예로 들자면 다음과 같다.

 -- dog ---+--- 진돗개 
           | 
           +--- 셰퍼드 
           | 
           +--- 치와와

또한 개는 포유류로 일반화 시킬 수 있다.

반면 일반화를 사용할 때는 일반화의 오류를 조심해야 한다. 다음은 일반화의 오류의 전형적인 예다.

내 친척은 1년전 부동산에 투자해서 떼돈을 벌었다.
- 니나노, 우리모두 부동산에 투자해서 떼돈을 벌어보세.
사치를 하는 사람들은 비싼것을 구입한다.
- 그렇게 비싼 물건을 산 그녀는 사치스러운 여자다.

일반화의 오류를 피하기 위해서는 (표본)대상의 다양성과 대상의 충분한 수가 확보가 필요하다.

Statistical Syllogism

통계적 삼단논법이라고 하며, 귀납적 삼단논법이라고도 한다. 통계적 3단논법에서는 거의,자주,종종 이라는 단어가 이용되며. generalisation(귀납적 일반화)와 함께 사용된다. 다음은 대표적인 예이다.

거의 대부분 지역의 백조는 하얀색이다.
A 지역의 그 새는 백조다.
A 지역의 백조는 흰색이다.

Prediction - 예측

예측은 과거의 사실들로부터 미래의 특정한 사실에 대한 결론을 도출해 내는 방법이다. 다음은 귀납적 예측의 예이다.

그룹 G의 멤버들중 관찰된 Q만큼이 A특징을 가지고 있다.
그러므로
그룹 G의 다른 Q만큼의 멤버들에 대한 관찰에서도 A특징이 발견될 것임을 예측할 수 있다.

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귀납법

수학에서의 귀납법

귀납법의 종류

Generalisation

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